알고리즘 / 자료구조’ 시리즈

[이.취.코] Chap 9. 최단 경로 - 개념

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1. 가장 빠르게 도달하는 방법

최단 경로(Shortest Path) 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘이다. 그래서 길 찾기문제 라고도 불린다.

최단 경로 알고리즘은 보통 그래프로 표현하는데 각 지점은 그래프에서 노드로 표현되고, 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현된다. 실제 코딩테스트에서는 최단 경로를 모두 출력하는 문제보다는 단순히 최단 거리를 출력하도록 요구하는 문제가 많이 출력된다.

이 책에는 다익스트라 최단 경로와 플로이드 워셜 알고리즘 유형만 다룬다. 이 2가지가 코딩 테스트에서 가장 많이 등장하는 유형이다.

그리디 알고리즘과 다이나믹 프로그래밍 알고리즘이 최단 경로 알고리즘에 그대로 적용된다.

2. 다익스트라(Dijkstra) 최단 경로 알고리즘

한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있다.
한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구하는 경우에 사용하는 최단 경로 알고리즘.

그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다. 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 [[음의 간선]] 이 없을 때 정상적으로 작동한다. 현실 세계의 길(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않으므로 실제로 GPS 소프트웨어의 기본 알고리즘으로 채택되곤 한다.

다익스트라 최단 경로 알고리즘은 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류된다. 매번 가장 비용이 적은 노드를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문이다.

  1. 출발 노드를 설정한다.
  2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.
  3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
  4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
  5. 위 과정에서 3과 4번을 반복한다

다익스트라 알고리즘은 최단 경로를 구하는 과정에서 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다는 특징이 있다. 매번 현재 처리하고 있는 노드를 기준으로 주변 간선을 확인한다.

방문하지 않은 노드 중에서 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 확인해 그 노드에 대하여 4번 과정을 수행한다는 점에서 그리디 알고리즘으로 볼 수 있다.

다익스트라 알고리즘을 구현하는 방법은 2가지이다.

  1. 구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드
  2. 구현하기 조금더 까다롭지만 빠르게 동작하는 코드

2번을 정확히 이해하고 구현할 수 있을 때까지 연습해야 한다. 2번을 정확히 구현할 수 있다면 다양한 고난이도 문제를 만났을 때에도 도움을 얻을 수 있다.

A. 간단한 다익스트라 알고리즘

단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다.

1번 노드에서 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 구하는 문제를 생각해보자.

1번 노드에서 다른 모든 노드로의 최단 거리를 계산해볼 것이다. 초기 상태에서는 다른 모든 노드로 가는 최단 거리를 무한으로 초기화한다. 무한을 표현하는 가장 간단한 방법은 지수표기법을 사용하는 건데 1e9라고 사용하면 10억이다. 파이썬에서 기본으로 1e9를 실수 자료형으로 처리한다.

a. Step 0

출발 노드에서 출발 노드로의 거리는 0으로 보기 때문에 처음에는 출발 노드가 선택된다.

노드 번호123456
거리0무한무한무한무한무한
b. Step 1

1번 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산한다. 1번 노드와 연결된 모든 간선을 하나씩 확인하면 된다. 현재 2번, 3번, 4번 노드로 가는 비용이 무한으로 설정되어 있는데, 세 노드에 대하여 더 짧은 경로를 찾았으므로 각각 새로운 값으로 갱신한다.

노드 번호123456
거리0251무한무한
c. Step 2

이후 모든 단계에서도 마찬가지로 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 한다. 4번 노드가 선택된다. 이때 4번 노드까지의 최단 거리는 1이므로 4번 노드를 거쳐서 3번과 5번 노드로 가는 최소 비용은 차례대로 (1+3), (1+1)이다. 이 두 값은 기존의 리스트에 담겨 있던 값보다 작으므로 다음처럼 리스트가 갱신된다.

노드 번호123456
거리02412무한
d. Step 3

2번과 5번 노드까지의 최단 거리가 2로 값이 같은데, 이럴때는 일반적으로 번호가 작은 노드를 선택한다. 2번 노드를 거쳐서 도달할 수 있는 노드 중에서 거리가 더 짧은 경우가 있는지 확인한다.

노드 번호123456
거리02412무한
e. Step 4

5번 노드가 선택된다. 현재 5번 노드까지의 최단 거리가 2이므로 5번 노드에서 3번 노드로 가는 거리인 1을 더한 3이 기존 값인 4보다 작기 때문에 새로운 값 3으로 갱신된다.

노드 번호123456
거리023124
f. Step 5

노드 번호123456
거리023124
g. Step 6

노드 번호123456
거리023124

최단 거리 테이블이 의미하는 바는 1번 노드로부터 출발했을 떄 2번, 3번, 4번, 5번, 6번 노드까지 가기 위한 최단 경로가 각각 2, 3, 1, 2, 4라는 의미다.

다익스트라 최단 경로 알고리즘에서는 방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단 거리가 짧은노드를 선택 하는 과정을 반복하는데, 이렇게 선택된 노드는 최단 거리가 완전히 선택된 노드이므로, 더 이상 알고리즘을 반복해도 최단 거리가 줄어들지 않는다.

h. 간단한 다익스트라 알고리즘의 구현

간단한 다익스트라 알고리즘은 O($V^2$)의 시간 복잡도를 가진다. V는 노드의 개수를 의미한다. 이 알고리즘은 직관적이고 쉽게 이해할 수 있다. 처음에 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트를 선언한다. 이후에 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다.

다익스트라 알고리즘을 최단 경로를 구하는 알고리즘이라고 소개했는데, 왜 1차원 리스트에는 최단 거리만 저장하는지 궁금할 수 있다. 코딩테스트에서는 대체로 특정한 노드에서 다른 특정한 노드까지의 최단 거리만을 출력하도록 요청한다.

소스코드에서는 입력되는 데이터의 수가 많다는 가정하에 input()을 sys.stdin.readline()으로 치환하여 사용한다. 모든 리스트는 (노드의 개수 + 1)의 크기로 할당하여, 노드의 번호를 인덱스로 하여 바로 리스트에 접근할 수 있도록 했다. 그래프를 표현해야 할 때 많이 사용하는 일반적인 코드 작성법이므로 기억해두자


import sys  
  
sys_input = sys.stdin.readline  
INF = int(1e9)  
  
n, m = map(int, sys_input().split())  
start = int(sys_input())  
graph = [[] for i in range(n+1)]  
visited = [False] * (n+1)  
distance = [INF] * (n+1)  
  
for _ in range(m):  
    a, b, c = map(int, sys_input().split())  
    graph[a].append((b, c))  
  
def get_smallest_node():  
    min_value = INF  
    index = 0  
  
 for i in range(1, n+1):  
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:  
            min_value = distance[i]  
            index = i  
    return index  
  
def dijkstra(start):  
    distance[start] = 0  
 visited[start] = True  
  
 for j in graph[start]:  
        distance[j[0]] = j[1]  
  
    for i in range(n-1):  
        now = get_smallest_node()  
        visited[now] = True  
  
 for j in graph[now]:  
            cost = distance[now] + j[1]  
  
            if cost < distance[j[0]]:  
                distance[j[0]] = cost  
  
dijkstra(start)  
  
for i in range(1, n+1):  
    if distance[i] == INF:  
        print("INFINITY")  
    else:  
        print(distance[i])
        
i. 간단한 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도

시간 복잡도는 O($V^2$)이라고 했다. 왜냐하면 총 O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 하고, 현재 노드와 연결된 노드를 매번 일일이 확인하기 때문이다. 전체 노드의 개수가 5,000개 이하라면 일반적으로 이 코드로 문제를 풀 수 있다. 하지만 노드의 개수가 10,000개를 넘어가는 문제라면 이 코드로는 문제를 해결하기 어렵다. 노드의 개수 및 간선의 개수가 많을 때는 개선된 다익스트라 알고리즘을 이용해야 한다.

B. 개선된 다익스트라 알고리즘

개선된 다익스트라 알고리즘에서는 힙(heap) 자료구조를 사용한다.

다익스트라 최단 경로 문제를 최악의 경우에도 시간 복잡도 O(ElogV)를 보장하여 해결할 수 있다. V는 노드의 개수, E는 간선의 개수이다.

간단한 다익스트라 알고리즘은 최단 거리가 가장 짧은 노드를 찾기 위해서, 매번 최단 거리 테이블을 선형적으로(모든 원소를 앞에서부터 하나씩) 탐색해야 했다. 이 과정에서만 O(V)의 시간이 걸렸다. 하지만 최단 거리가 가장 짧은 노드를 단순히 선형적으로 찾는 것이 아니라 더욱더 빠르게 찾을 수 있다면 어떨까?

개선된 다익스트라 알고리즘에서는 힙(heap) 자료구조를 사용한다. 힙 자료구조를 이용하게 되면 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리하므로 출발 노드로부터 가장 거리가 짧은 노드를 더욱 빠르게 찾을 수 있다. 이 과정에서 선형 시간이 아닌 로그 시간이 걸린다.

a. 힙 설명

우선순위 큐는 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제한다는 점이 특징

힙 자료구조는 우선순위 큐(Priority Queue)를 구현하기 위하여 사용하는 자료구조 중 하나다. 우선순위 큐는 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제한다는 점이 특징이다.

데이터를 우선순위에 따라 처리하고 싶을 때 사용한다. 예를 들어 여러 개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었다가 가치가 높은 물건 데이터부터 꺼내서 확인해야 하는 경우에 우선순위 큐 자료구조를 이용하면 효과적이다.

파이썬에서 우선순위 큐가 필요할 때 PriorityQueue 혹은 heapq를 사용할 수 있는데, 이 두라이브러리 모두 우선순위 큐 기능을 지원한다. 일반적으로 heapq가 더 빠르게 동작한다.

우선순위 값을 표현할 때는 일반적으로 정수형 자료형의 변수가 사용된다. 대부분의 프로그래밍 언어에서는 우선순위 큐 라이브러리에 데이터의 묶음을 넣으면, 첫 번째 원소를 기준으로 우선순위를 설정한다. 데이터가 (가치, 물건)으로 구성된다면 '가치'값이 우선순위 값이 되는 것이다.

우선순위 큐를 구현할 때는 내부적으로 최소 힙(Min heap) 혹은 최대 힙(Max Heap)을 이용한다. 최소 힙을 이용하는 경우 값이 낮은 데이터가 먼저 삭제되며, 최대 힙을 이용하는 경우 값이 큰 데이터가 먼저 삭제된다. 파이썬 라이브러리에서는 기본적으로 최소 힙 구조를 이용하는데 다익스트라 최단 경로 알고리즘에서는 비용이 적은 노드를 우선하여 방문하므로 최소 힙 구조를 기반으로 하는 파이썬의 우선순위 큐 라이브러리를 그대로 사용하면 적합하다.

최소 힙을 최대 힙처럼 사용하기 위해서 일부러 우선순위에 해당하는 값에 음수 부호(-)를 붙여서 넣었다가, 우선순위 큐에서 꺼낸 다음에 다시 음수 부호(-)를 붙여서 원래의 값으로 돌리는 방식을 사용할 수 있다.

우선순위 큐를 구현하는 방법은 다양하다.

우선순위 큐 구현 방식삽입 시간삭제 시간
리스트O(1)O(N)
힙(Heap)O(logN)O(logN)

힙 자료구조에 N개의 데이터를 모두 넣은 뒤에 다시 모든 데이터를 꺼낸다고 해보자. 삽입할 때는 O(logN)의 연산을 N번 반복하므로 O(NlogN)이고 삭제할 때에도 O(logN)의 연산을 N번 반복하므로 O(NlogN)이다. 따라서 전체 연산 횟수는 대략 2NlogN으로 O(NlogN)이 될 것이다. 대부분의 경우 힙을 이용했을 때 훨씬 빠르게 동작한다. 힙을 이용하는 경우 모든 원소를 저장한 뒤에 우선순위에 맞게 빠르게 뽑아낼 수 있으므로 힙은 우선순위 큐를 구현하는 데 가장 많이 사용된다.

우선순위 큐를 이용해서 시작 노드로부터 거리가 짧은 노드 순서대로 큐에서 나올 수 있도록 다익스트라 알고리즘을 작성하면 된다.

우선순위 큐 그림에서는 각 원소를 거리가 짧은 순서대로 왼쪽부터 나열한다. 현재 가장 가까우 노드를 저장하기 위한 목적으로만 우선순위 큐를 추가로 이용한다.

b. Step 0

1번 노드로 가는 거리는 자기 자신까지 도달하는 거리이기 떄문에 0이다. 즉, (거리:0, 노드:1)의 정보를 가지는 객체를 우선수누이 큐에 넣으면 된다.

파이썬에서는 튜플(0,1)을 우선순위 큐에 넣는다. heapq 라이브러리는 원소로 튜플을 입력받으면 튜플의 첫 번째 원소를 기준으로 우선순위 큐를 구성한다.

노드 번호123456
거리0무한무한무한무한무한

우선순위 큐 : (거리: 0, 노드: 1)

c. Step 1

거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해서는 우선순위 큐에서 그냥 노드를 꺼내면 된다. 거리가 짧은 원소가 우선순위 큐의 최산위 원소로 위치해 있다. 우선순위 큐에서 녿를 꺼낸 뒤에 해당 노드를 이미 처리한 적이 있다면 무시하면 되고, 아직 처리하지 않은 노드에 대해서만 처리하면 된다.

우선순위 큐에서 원소를 꺼내면 (0, 1)이 나온다. 이는 1번 노드까지 가는 최단 거리가 0이라는 의미로, 1번 노드를 거쳐서 2번, 3번, 4번 노드로 가는 최소 비용을 계산한다. 차례로 2, 5, 1이다. 이렇게 더 짧은 경로를 찾은 노드 정보들은 다시 우선순위 큐에 넣는다.

노드 번호123456
거리0251무한무한

우선순위 큐 : (거리: 1, 노드: 4), (거리: 2, 노드: 2), (거리: 5, 노드: 3)

d. Step 2

현재 그림에서는 튜플의 첫 번째 원소(거리)가 작은 순서대로 왼쪽부터 기록하고 있다. 따라서 갱신된 우선순위 큐 또한 그림처럼 그려진다.

노드 번호123456
거리02412무한

우선순위 큐 : (거리: 2, 노드: 2), (거리: 2, 노드: 5), (거리: 4, 노드: 3), (거리: 5, 노드: 3)

e. Step 3

노드 번호123456
거리02412무한

우선순위 큐 : (거리: 2, 노드: 5), (거리: 4, 노드: 3), (거리: 5, 노드: 3)

f. Step 4

노드 번호123456
거리023124

우선순위 큐 : (거리: 3, 노드: 3), (거리: 4, 노드: 3), (거리: 4, 노드: 6), (거리: 5, 노드: 3)

g. Step 5

노드 번호123456
거리023124

우선순위 큐 : (거리: 4, 노드: 3), (거리: 4, 노드: 6), (거리: 5, 노드: 3)

h. Step 6

노드 3번에 대해서는 이미 처리된 것으로 볼 수 있으며 현재 우선선위 큐에서 꺼낸 (4, 3)이라는 원소는 무시하면 된다.

노드 번호123456
거리023124

우선순위 큐 : (거리: 4, 노드: 6), (거리: 5, 노드: 3)

i. Step 7

노드 번호123456
거리023124

우선순위 큐 : (거리: 5, 노드: 3)

j. 개선된 다익스트라 알고리즘 구현

최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하는 과정을 다익스트라 최단 경로 함수 안에서 우선순위 큐를 이용하는 방식으로 대체할 수 있다.

앞의 코드와 비교했을 때, get_smallest_node()라는 함수를 작성할 필요가 없다는 특징이 있다. 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하는 과정을 다익스트라 최단 경로 함수 안에서 우선순위 큐를 이용하는 방식으로 대체할 수 있기 때문이다.


import heapq  
import sys  
  
sys_input = sys.stdin.readline  
INF = int(1e9)  
  
n, m = map(int, sys_input().split())  
start = int(sys_input())  
graph = [[] for i in range(n+1)]  
distance = [INF] * (n+1)  
  
for _ in range(m):  
    a, b, c = map(int, sys_input().split())  
    graph[a].append((b, c))  
  
def dijkstra(start):  
    q = []  
    heapq.heappush(q, (0, start))  
    distance[start] = 0  
  
 while q:  
        dist, now = heapq.heappop(q)  
  
        if distance[now] < dist:  
            continue  
  
 for i in graph[now]:  
            cost = dist + i[1]  
  
            if cost < distance[i[0]]:  
                distance[i[0]] = cost  
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))  
  
dijkstra(start)  
  
for i in range(1, n+1):  
    if distance[i] == INF:  
        print("INFINITY")  
    else:  
        print(distance[i])
        
k. 개선된 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도

개선된 다익스트라 알고리즘은 시간 복잡도가 O(ElogV)로 훨씬 빠르다. 하지만 직관적으로 봤을 때, 이처럼 우선순위 큐를 이용하는 방식이 훨씬 빠른 이유에 대해서 잘 납득이 가지 않을 수있다.

한 번 처리된 노드는 더 이상 처리되지 않는다. 다시 말해 큐에서 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문(while)은 노드의 개수 V 이상의 횟수로는 반복되지 않는다. 또한 V번 반복될 때마다 각각 자신과 연결된 간선들을 모두 확인한다. 따라서 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총횟수는 총 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있다.

따라서 전체 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사하다고 볼 수 있다. 간단히 생각하면 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 최대 E개의 간선 데이터를 힙에 넣었다가 다시 빼는 것으로 볼 수 있으므로 O(ElogE)임을 이해할 수 있다. 이때 중복 간선을 포함하지 않는 경우 E는 항상 $V^2$보다 작다. 왜냐하면, 모든 노드끼리 서로 다 연결되어 있다고 했을 떄 간선의 개수를 약 $V^2$으로 볼 수 있고 E는 항상 $V^2$이하이기 때문이다. 다시말해 logE는 $logV^2$보다 작다. 이때 O($logV^2$)은 O(2logV)이고, 이는 O(logV)이다. 따라서 다익스트라 알고리즘의 전체 시간 복잡도를 간단히 O(ElogV)라고 볼수 있다.

시간 복잡도 개념을 제대로 이해하지 못해도 최소한 다익스트라 최단 경로 알고리즘의 소스코드만 잘 기억해두자. 그러면 최단 경로 문제를 풀 수 있으며 많은 문제를 풀다보면 결국엔 정확한 내용까지 잘 이해하게 될 것이다.

우선수누이 큐는 실제로는 단순히 힙 자료구조로 구현할 수 있다. 파이썬을 이용하면 힙을 직접 구현할 필요가 없다. 항상 가장 작은 값이 먼저 나온다라는 특징을지키면서, 단일 데이터의 삽입과 삭제 연산을 O(logN)에 수행하는 heapq 라이브러리를 이용하면 된다. 또한 기본적으로 튜플의 첫 번째 원소인 거리 정보를 기준으로 해서 우선순위 큐를 구성하므로 거리가 짧은 원소가 항상 먼저 나온다.

다익스트라 최단 경로 알고리즘은 우선순위 큐를 이용한다는 점에서 우선순위 큐를 필요로 하는 다른 문제 유형과도 흡사하다는 특징이 있다. 그래서 최단 경로를 찾는 문제를 제외하고도 다른 문제에도 두루 적용되는 소스코드 형태라고 이해할 수 있다.

3. 플로이드 워셜 알고리즘

모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우에 사용할 수 있는 알고리즘

다익스트라 알고리즘은 단계마다 최단 거리를 가지는 노드를 하나씩 반복적으로 선택한다. 그리고 해당 노드를 거쳐 가는 경로를 확인하며, 최단 거리 테이블을 갱신하는 방식으로 동작한다. 플로이드 워셜 알고리즘 또한 단계마다 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다. 하지만 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없다는 점이 다르다. 노드의 개수가 N개 일 때 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행하며, 단계마다 O($N^2$)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려한다. 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총시간 복잡도는 O($N^3$)이다.

다익스트라 알고리즘에서는 출발 노드가 1개이므로 다른 모든 노드까지의 최단 거리를 저장하기 위해서 1차원 리스트를 이용했다. 반면에 플로이드 워셜 알고리즘은 2차원 리스트에 최단 거리 정보를 저장한다는 특징이 있다. 모든 노드에 대하여 다른 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 담아야 하기 때문이다. 즉, 2차원 리스트를 처리해야 하므로 N번의 단계에서 매번 O($N^2$)의 시간이 소요된다.

또한 다익스트라 알고리즘은 그리디 알고리즘인데 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍이라는 특징이 있다. 노드의 개수가 N이라고 할 때, N번 만큼의 단계를 반복하여 점화식에 맞게 2차원 리스트를 갱신하기 때문이다.

각 단계에서는 해당 노드를 거쳐 가는 경우를 고려한다.

현재 확인하고 있는 노드를 제외하고 N-1개의 노드 중에서 서로 다른 노드 (A, B) 쌍을 선택한다. 이후에 A -> 1번 노드 -> B로 가는 비용을 확인한 뒤에 최단 거리를 갱신한다. ${N-1}\mathrm{P}{2}$ 개의 쌍을 단계마다 반복해서 확인하면 된다. 이때 O(${N-1}\mathrm{P}{2}$)는 O($N^2$)이라고 볼 수 있기 때문에, 전체 시간 복잡도는 O($N^3$)이라고 할 수 있다. 구체적인 (K번의 단계에 대한) 점화식은 아래와 같다.

$$D_{ab} = min(D_{ab}, D_{ak} + D_{kb})$$

따라서 전체적으로 3중 반복문을 이용하여 이 점화식에 따라 최단 거리 테이블을 갱신하면 된다. 위 점화식은 A에서 B로 가는 최소 비용A에서 K를 거쳐 B로 가는 비용을 비교하여 더 작은 값으로 갱신하겠다는 것. 즉, 바로 이동하는 거리특정한 노드를 거쳐서 이동하는 거리보다 더 많은 비용을 가진다면 이를 더 짧은 것으로 갱신한다는 것.

A. 예시

위 그래프가 있을 때, 아래와 같은 초기 테이블을 설정할 수 있다. 초기 상태인 [setp 0]에서는 연결된 간선은 단순히 그 값을 채워 넣고, 연결되지 않은 간선은 무한이라는 값을 넣는다. 실제 구현에서는 10억과 같은 임의의 큰 값을 무한이라 여기고 int(1e9)를 이용한다. 2차원 리스트에서 각 값에 해당하는 $D_{ab}$는 a에서 b로 가는 최단 거리이다.

자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0이므로, (1 <= i <= n)의 범위를 가지는 모든 i에 대하여 $D_{ii}$는 0이라는 값으로 초기화한다.

a. Step 0
출발\도착1번2번3번4번
1번04무한6
2번307무한
3번5무한04
4번무한무한20
b. Step 1

$D_{23} = min(D_{23}, D_{21} + D_{13})$ $D_{24} = min(D_{24}, D_{21} + D_{14})$ $D_{32} = min(D_{32}, D_{31} + D_{12})$ $D_{34} = min(D_{34}, D_{31} + D_{14})$ $D_{42} = min(D_{42}, D_{41} + D_{12})$ $D_{43} = min(D_{43}, D_{41} + D_{13})$

다시 말해 1번 노드를 을 거쳐 갈 때가 더 빠른 경우가 존재한다면 빠른 경우로 최단 거리를 갱신해주는 식이다.

c. Step 2

2번 노드를 거쳐 가는 경우를 계산한다. 따라서 2번 노드를 제외한 1번, 3번, 4번 노드에서 2개의 노드를 뽑는 경우를 고려한다.

d. Step 3

3번 노드에 대해서도 동일한 과정을 반복한다.

e. Step 4

4번 노드에 대해서도 동일한 과정을 반복한다.

f. 최종 결과

B. 시간 복잡도

O($N^3$)

C. 소스 코드


INF = int(1e9)  
  
n = int(input())  
m = int(input())  
graph = [[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)]  
  
for a in range(1, n+1):  
    for b in range(1, n+1):  
        if a == b:  
            graph[a][b] = 0  
  
for _ in range(m):  
    a, b, c = map(int, input().split())  
    graph[a][b] = c  
  
for k in range(1, n+1):  
    for a in range(1, n+1):  
        for b in range(1, n+1):  
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])  
  
for a in range(1, n+1):  
    for b in range(1, n+1):  
        if graph[a][b] == INF:  
            print("INFINITY", end=" ")  
        else:  
            print(graph[a][b], end=' ')  
    print()

참고문헌

나동빈, "이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬", 초판, 2쇄, 한빛미디어, 2020년

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